如果街上几家兑换店都盯着同行调价，最便宜的一家很快会被跟上。但金融市场多了一层麻烦：做市商同时报买价和卖价，改动一边，还会改变客户选择买还是卖。竞争最后停在哪里？彼此不断试错的算法，能否自己走到那里？Matteo Onger 与 Luigi Foscari 的论文《Equilibria and Learning in Competitive Market Making》把这两个问题放进了同一个模型。
论文给出的答案很整齐：在它设定的市场中，纯策略纳什均衡总能存在；均衡做市商在买卖两边都赚取零期望利润；对于一类位置—尺度分布，价差与资产价值的标准差成正比。把报价切成细小价格档位后，采用“无内部遗憾”学习的做市商，其长期平均报价还会靠近连续模型的均衡价格范围。
这些结论都来自该论文的理论推导与数值模拟，不是对真实交易数据的独立检验。
两边报价，其实是一件事
买卖价差（bid-ask spread）是卖价与买价之间的距离。交易者想立即成交，就要跨过这段距离；做市商则靠它补偿风险和成本。
论文设置了至少两名战略做市商。所谓“战略”，是指它们不只按成本报价，还会预判同行与客户的反应。每家同时提交一个买价和一个卖价。市场采用最高买价和最低卖价，并以两者的中点作为市场中间价。
市场里另有一名不参与博弈的代表性交易者。资产的真实价值高于中间价时，交易者买入；低于中间价时，交易者卖出。需求没有弹性：交易者总会选择一个方向成交。若多家给出相同的最佳报价，订单在它们之间平均分配。
这让买卖两边无法拆开研究。一家做市商压低卖价，不仅会抢到买单，也会拉低中间价，于是更多价值实现值落到“应该买入”的一侧。它既改变单笔利润，也改变订单方向。做市商还可以同时在另一边后撤，避开可能亏损的交易。
所以，这并不是两个互不相干的低价竞争。一次报价调整会牵动整本账。
竞争为什么停在零利润
论文先寻找纯策略纳什均衡（PSNE）——每家都确定性地采用一套报价，而且在同行不动时，任何一家单独改价都不能提高收益。
均衡中的最佳买价和最佳卖价都必须至少由两家做市商共同报出。若某一边只有一家最优，它就有空间小幅调整报价，同时利用另一边改变中间价，从而创造正利润。
均衡的另一项条件更直接：买卖两边各自的期望利润都必须为零。负利润无法持续，因为做市商可以撤到边界报价，避免亏损；正利润也无法持续，因为同行只要改善一点报价，就能夺走订单。由于两边可以分别退出，一边的利润也不能长期补贴另一边的亏损。
作者据此定义“中点算子”：先假定一个中间价，再分别计算买方订单和卖方订单条件下恰好不赚不赔的报价，最后看这两个报价形成的新中点。若新旧中点相同，就找到了一个自洽点。
难点在于，连续报价下的收益并不平滑。报价只改善一点，订单份额可能从零突然跳到全部；而一对看似有利的报价取平均后，甚至可能让做市商在两边都拿不到订单。常见的连续博弈均衡定理因此不能直接套用。
论文改用这个中点算子的单调性，并借助 Knaster–Tarski 不动点定理证明：资产价值为连续、非退化且有界的随机变量时，自洽中点至少存在一个。作者随后进一步排除那些可被单边抢价利用的自洽点，从而构造出纯策略纳什均衡。均衡中点可能不唯一，但存在最小值和最大值，其他均衡中点都夹在两者之间。
波动越大，价差为何一起变宽
在位置—尺度分布族中，资产价值可以写成“位置参数加尺度参数乘以标准化随机变量”。尺度参数正是资产价值的标准差。
论文证明，均衡报价会随这个尺度同步伸缩，因此均衡价差严格地线性增长：标准差扩大一倍，模型中的均衡价差也扩大一倍。直觉是，价值分布被拉宽后，条件在高端或低端的资产价值离中间位置更远。做市商若仍想保持零期望利润，就必须把买价和卖价向外推。
这里值得留意的是，多家做市商会同时扩大价差，却不需要彼此沟通。论文把它视为一种识别风险：仅从报价一起变宽，未必能判断算法是否合谋；共同面对的波动率上升，也能产生相似轨迹。
但这不是“所有真实市场的价差都与波动率严格成正比”。它是该模型在位置—尺度分布族内的均衡结论。
做市商能靠试错学到均衡吗
理论均衡假定参与者能找到正确报价，现实中的算法通常只能根据历史成交和利润逐步调整。为研究这种学习动态，作者先把连续价格切成网格。相邻报价之间的距离就是 tick size，也就是最小价格变动单位。
他们考察无内部遗憾学习：长期来看，算法不会发现，“每次原本想报价格 A 时都改报价格 B”能稳定带来更高收益。这里比较的不是永远固定在某个报价，而是把一种动作系统地替换成另一种动作，因此约束更强。
无内部遗憾学习的长期平均行为会接近相关均衡——一个允许参与者的行动受共同信号关联、但任何人都不愿单独违背建议的均衡概念。论文证明，在资产价值具有连续密度、零利润报价满足额外正则性等条件下，网格博弈的所有相关均衡都会随着 tick size 趋近于零，统一靠近连续模型的 Nash price envelope。
这个“均衡价格包络”不是单一报价点，而是由最小和最大均衡所圈定的价格范围。换句话说，学习结果未必选中同一个均衡，也不保证每一轮报价都贴在均衡曲线上；结论针对时间平均市场价格。如果长期平均最终收敛到一个单独报价组合，那么它会靠近均衡曲线。
数值模拟给了直观检查。作者让两名做市商使用 Exp3，并通过 Blum–Mansour reduction 把算法转成内部遗憾学习器；资产价值采用截断到 $[0,1]$ 的 Gaussian 分布。模拟显示，价格网格变细时，学到的买卖报价趋近均衡价格包络；提高资产价值的波动率时，学到的价差单调增加，并接近理论预言的线性关系。论文所称的“empirically validate”指这些数值模拟，并非真实市场实证。
为什么值得关注
这项工作的价值，不只是一条“竞争压低利润”的老结论。它处理了做市中最棘手的结构：买价和卖价共同决定中间价，中间价又决定订单方向。作者把战略报价、连续价格空间和反复学习接到了一起，给出了一个可分析的竞争基准。
这个基准也提醒我们，观察到算法行为趋同，不等于发现合谋。若所有做市商面对同一种风险，并沿着相似的学习规则调整，它们可能在没有协调的情况下同步扩大价差。判断竞争是否异常，至少要先控制波动变化。
局限与未知
- 学习结论依赖价格离散化和额外正则性，并且只保证时间平均价格接近均衡包络；学习者是否集中到均衡曲线、收敛速度多快，论文仍未解决。
- 模型采用单一资产、无弹性且充分知情的代表性交易者，没有纳入库存、延迟、异质订单流和随时间变化的基本面。作者把这些列为后续方向。
- 论文编号为 arXiv:2610.30891，与供稿时间线存在值得复核之处；正式发布状态和引文信息仍需另行核验。