数值模型报出一个期权价格，就像秤给出一个读数：真正麻烦的是，你不知道它可能偏了多少。10 月 5 日提交的一篇论文，针对不确定波动率模型——允许未来波动率在一定范围内变化的定价模型——提出事后误差界：先算近似价格，再给出可验证的下界和上界。两界越近，结果越可信。
最巧的一步，是让同一个近似解同时帮助构造两侧边界。研究者利用它的 Hessian——描述价格曲率的二阶导数矩阵——生成反馈控制，得到价格下界；上界则通过矩阵形式的 Gamma 场和非负惩罚项构造。当 Gamma 场也来自该近似解时，上界还能改写为 Black-Scholes-Barenblatt 方程残差，也就是“近似解没有满足定价方程的程度”。
作者还分析了离散计算带来的误差，并用随机策略梯度和物理信息神经网络生成候选解。数值实验的核心提醒很朴素：二阶导数算得不准，上下界就难以收紧。换句话说，这套方法不只给答案，也把答案是否可靠变成了可检查的问题。