一个模型说“下雨概率 70%”，不只要比 60% 更像会下雨；长期来看，这批 70% 的预报还应约有七成兑现。保序回归常用来做这种概率校准：它把模型分数整理成一条只升不降的阶梯曲线。问题是，台阶太多会把样本里的随机波动也当成规律，太少又可能丢掉信息。
Rossellini 等人精确刻画了二元样本下最坏情况的有限样本自由度——也就是给定样本量时，这条曲线最多能分出多少个不同平台。证明抓住一个具体结构：每个平台都是一段 0、1 样本的均值，因此只能取分数；要用尽可能短的样本造出尽可能多的不同平台，就要依次选取约分后的分数。作者由此把问题连接到 Farey 序列和 Euler 欧拉函数，并将既有上界中首项常数 3 改进为最优常数。
这不只是更精细的计数。作者进一步据此给出其所称首个非平凡、完全不依赖数据分布的保序回归 Expected Calibration Error（期望校准误差，衡量预测概率与实际发生率的偏差）保证。换句话说，我们终于能在不假定模型正确、噪声平滑的情况下，讨论这种校准方法在现实样本量下的复杂度和过拟合边界；供稿文本中的部分公式缺失，因此这里不列具体界值。